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成都龙新高三补习-开学高中数学学习及复习资料——概率

2019-8-26 14:39| 发布者:龙新教育教研组| 查看:168| 评论:0

摘要:相关概念:1,事件的分类:(1)必然事件:在条件S下一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件:在条件S下一定不会发生的,叫做相对于条件S的不可能事件;(3)随机事件:在条件S下可能发生也 ...

相关概念:

1,事件的分类:

(1)     必然事件:在条件S下一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件;

(2)     不可能事件:在条件S下一定不会发生的,叫做相对于条件S的不可能事件;

(3)     随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的,叫做相对于条件S的随机事件;

注:必然事件与不可能事件统称确定事件;

事件一般用大写字母A,B,C……表示。

*例题:将一根长为a(a>0)的铁丝随意截成三段,构成一个三角形,此事件是( )

A,必然事件;      B,不可能事件;   C,随机事件;    D,不能判定;

 

*例题:在1,2,3……10这10个数字中,任取3个数字,那么“这3个数字的和大于6”这一事件是( )

A,必然事件;     B,不可能事件;     C,随机事件;    D,以上均不正确;

 

*例题:从含有8件正品,2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是()

A,3件都是正品;           B,至少有1件是次品;  

C,3件都是次品;           D,至少有1件是正品;

 

2,频数与频率:在相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=m/n为事件A出现的频率;

 

3,概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率;

*例题:下列说法正确的是( )

A,甲乙两人比赛,甲的胜率为0.6,则比赛5场,甲一定胜3场;

B,某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有痊愈,则第10个病人一定治愈;

C,小概率事件不可能发生,大概率事件必然发生;

D,气象台预报明天降水概率90%,是指明天降水的可能性是90%;

 

4,事件关系和运算:

(1)    包含关系:事件A发生必然导致事件B发生;

注:不可能事件记作∅,包含于任何事件;事件A也包含于事件A本身;

(2)     相等关系:事件B包含于事件A,事件A也包含于事件B,则A=B;

(3)     并(和)事件:若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件,记作A∪B(或A+B);

(4)     交(积)事件:若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件,记作A∩B(或A*B);

(5)     互斥事件:若A∩B为∅,则称事件A与事件B为互斥事件;

(6)     对立事件:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件;

*例题:下列各组事件,不是互斥事件的是()

A,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6;

B,统计一个班级数学期中考试成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分;

C,播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒;

D,检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%;

 

*例题:从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么下列事件中互斥而不对立的两个事件是()

A,至少有1个红球与都是红球;

B,恰有1个红球与恰有1个白球;

C,至少有1个红球与都是白球;

D,恰有1个白球与恰有2个白球;

 

*例题:甲乙两人下围棋,已知甲获胜的概率为0.45,两人平局的概率为0.1,则甲不输的概率为?

 

5,规律的基本性质:

(1)     必然事件概率为1,不可能事件概率为0,而任意事件A的概率满足0≤A≤1;

(2)     若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B);

(3)     若多个事件A1,A2,A3……An彼此互斥,则P(A1∪A2∪A3∪……∪An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+……+P(An);

(4)     若事件A与事件B互为对立事件,则P(A∪B)=1;

*例题:中心医院要派医生赴灾区义诊,派出医生的人数及其概率如下表:

人数

0

1

2

3

4

≥5

概率

0.1

0.16

0.3

0.2

0.2

0.04

(1)    求派医生至多2人的概率;      

(2)     求派出医生至少2人的概率;

 

6,基本事件:一次随机试验所有可能出现的结果都是随机事件,这类随机事件称为基本事件;

 

7,基本事件特点:

(1)     任何两个基本事件是互斥事件;

(2)     任何事件(除不可能事件)都可以表示成若干个基本事件的和;

*例题:将数字1,2,3,4任意排成一行组成没有重复数字的四位数,试写出该试验的基本事件空间,并指出事件“得到偶数”包含多少个基本事件?

 

8,基本事件概率公式:如果一次试验中可能出现的结果只有n个,而且所有结果出现的可能性相等,那么每一个基本事件的概率都是1/n,即P(A1)=1/n;

 

9,古典概型:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;每个基本事件出现的可能性相等,将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型。简称古典概型;

*例题:判断下列试验是否是古典概型:

(1)在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽;

(2)口袋中有2个红球,2个白球,每次从中任取一个球,观察颜色后放回,直到取到红球;

(3)从甲乙丙丁戊5个同学中任意抽取一名担任学生代表;

 

10,           古典概型概率公式:P(A)=事件A包含的基本事件数/试验的基本事件总数;

*例题:投掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于?

 

*例题:从甲乙丙丁戊等5名学生中随机抽取2人,则甲被选中的概率为?

 

11,           随机变量:随着试验结果变化而变化的量称为随机变量;

*例题:投掷两枚骰子,将两个骰子的点数记为(x,y),且设所有点数之和为X,那么X=4表示的随机试验的结果是?

 

12,           离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量;

 

13,           离散型随机变量分布列:由离散型随机变量可能的取值与每个取值的概率一一对应形成的表格为离散型随机变量的概率分布列,或称离散型随机变量分布列;

X

X1

X2

xi

Xn

p

P1

P2

pi

pn

*例题:袋中有2个白球,3个红球,5个黄球,这10个小球除颜色外完全相同,从袋中任取2个球,记取得红球的个数为X,求X的分布列?

 

14,           离散型随机变量分布列的性质:

(1)     对于随机变量ξ的任何取值x ,其概率值都是非负的,即P ≥0,i = 1,2,…;

(2)     对于随机变量的所有可能的取值,其相应的概率之和都是1,即P + P+ … = 1;

*例题:如下是离散型随机变量X的分布列,则常数a的值为?

X

0

1

2

3

P

a

       1/6
       1/3       1/4

 

15,           离散型随机变量的数学期望(均值)与方差:

(1)E(X)=x1p1+x2p2+……+xipi+……+xnpn,E(X)为随机变量X的均值或者数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平;

(2)D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+……+(xi-E(X))2pi+……+(xn-E(X))2pn,D(X)为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差;

(3)性质:E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X);

*例题:已知离散型随机变量X的分布列为

X

-1

0

1

P

0.5

0.2

a

设Y=6X+1,则Y的数学期望E(Y)的值为?Y的方差D(X)的值为?

 

16,          两点分布:如果随机变量X的分布列为:

X

1

0

P

p

q

其中0<P<1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数P的两点分布;

均值E(X)=P;方差D(X)=p(1-p);

 

17,           超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为

其中m={M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N+,则称随机变量X服从超几何分布;E(X)=nM/N;

*例题:从一批含有13件正品,2件次品的产品中,不放回的任取3件,求取得次品数X的分布列,并计算数学期望与方差?

 

18,           条件概率:对于任何两个事件A与B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=P(A*B)/P(B);

*例题:抛掷一枚均匀的骰子两次,记事件A为两次的点数均为奇数,事件B为两次的点数之和小于7,则P(B|A)=?

 

19,           条件概率性质:

(1)0≤P(B|A)≤1;

(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=1;

 

20,           互相独立事件:对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B是相互独立事件;

*例题:分别投掷两颗质地均匀的骰子,事件A为第一颗骰子出现奇数点,事件B为第二颗骰子出现偶数点,判断事件A与事件B是否相互独立?

 

21,           二项分布:一般,在相同条件下重复做N次试验称为n次独立重复试验;在N此独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为P,此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p);在n此独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为


*例题:已知随机变量X~B(6,1/3),则P(X=2)=?

 

22,           二项分布的均值与方差:E(X)=np;D(X)=np(1-p);

*例题:已知离散型随机变量X,Y满足X+Y=8,且X~B(10,0.6),则D(X)+D(Y)=?

 

23,           正态分布:


的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线;其中μ为正态分布的数学期望,σ为正态分布的标准差;

 

24,           正态曲线特点:

(1)     曲线位于x轴上方,且与x轴无限接近但不相交;

(2)     曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

(3)     曲线在x=μ处达到峰值;

(4)     曲线与x轴之间的面积为1;

(5)     当σ一定时,曲线随μ的变化沿x轴移动;

(6)     当μ一定时,曲线的形状由σ决定;σ越小,曲线越瘦高;σ越大,曲线越矮胖;

*例题:已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)=?

 

*例题:已知X~N(0,σ2),且P(X<-2)=0.1,则P(X<2)=?

 

25,           正态分布常用数据:

(1)     P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;

(2)     P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;

(3)     P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974。

*例题:如果X~N(μ,σ2),且E(X)=3,D(X)=1,那么P(2<X<4)=?



常见考点:

1,概率基本性质判断:

(1)     取值范围[0,1];

(2)     必然事件概率为1;

(3)     不可能事件概率为0;

(4)     互斥事件概率P(A∪B)=P(A)+P(B);

(5)     对立事件概率P(A)=1-P(B);

2,求复杂互斥事件概率:

(1)     直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算;

(2)     间接法:先求此事件的对立事件概率,再用对立事件概率公式进行计算,即运用逆向思维;

3,古典概型问题:

(1)     特点:有限性,等可能性;

(2)     公式:P(A)=事件A包含的基本事件数/试验的基本事件总数;

(3)     基本事件个数的确定:列举法,列表法(坐标法),树状图法;

4,离散型随机变量问题:

(1)     性质:每个概率≥0,所有概率之和为1;

(2)     常见题型:两点分布与超几何分布;

5,二项分布问题:


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